Lista 10 de Matemática Financeira

Exercícios “Séries Uniformes e Variáveis – Rendas”. Lista de exercícios 8. Questões especiais extraídas da prova FCP/INSS-CESP/Unb. Professor Manoel Ribeiro, Disciplina Matemática Financeira, Universidade Federal do Ceará.

Questão 1. Diz-se que a taxa i é equivalente à taxa i’ se, ao fim de determinado período, ambas produzirem o mesmo montante, quando aplicadas ao mesmo capital. Considerando o regime de juros simples e a informação acima, julgue os itens que se seguem:

1. O capital que aplicado à taxa de juros de 12% a.a., transforma-se, ao final de 10 meses em R$ 308,00 é superior a R$ 270,00.
2. Um capital aplicado a 200% a.a. e capitalizado semestralmente dobrará em 6 meses.
3. A juros de 10% a.a., uma dívida que, ao final de 2 anos, atintgir R$ 1.200,00 poderá ser imediatamente liquidade por R$ 990,00.
4. Se uma taxa mensal i e uma taxa diária i’ são equivalentes, então i = 30·i’s.
5. Três taxas mensais e consecutivas de 2, 3% e 5% equivalem a uma taxa trimestral de 10%.

Respostas:
Item 1. i = 1% a.m., t = 10 meses, M = 308,00
M = C (1+i·t)
308 = C (1+0.01 · 10)
308 = C (1+0.1)
308 = C (1.1)
C = 280
Sim, o capital aplicado é superior à R$ 270,00.

Item 2. Como não foi dito o período de capitalização, vou admitir que é mensal.
i = 200%/12 = 16.66% a.m., t = 6 meses
M = C (1+i·t)
M = C (1+0.1666·6)
M = C (1+1)
M = 2·C
Sim, o montante ao final de seis meses será será igual a duas vezes o capital aplicado.

Item 3.
i = 10% a.a., t = 2 anos, M = R$ 1.200,00
M = C (1+i·t)
1200 = C (1+0.1·2)
1200 = C (1.2)
C = 1000
Não. Serão necessários R$ 1000 para liquidar esta dívida.

Item 4.
Supondo que as taxas são equivalente temos que para que as duas taxas sejam equivalente elas devem produzir o mesmo montante quando aplicadas ao mesmo capital durante um determinado período. Ou seja:

• M = C (1+i·t), para um i em % ao mês e o t em meses.
• M = C (1+i’·t’), para um i’ em % ao dia e o t’ em dias.

Isolando M/C -1 em ambas as equações temos:

• M/C -1 = i·t
• M/C -1 = i’·t’

E podemos igualar as duas equações:
i·t = i’·t’
Para que ambos tenham a mesma taxa de juros sujeitos à mesmo período de capitalização temos, diário:
t’ = 30·t
e substituir isso na equação:
i·t = i’·30·t
Cortando t de ambos os lados:
i = i’·30

Item 5.

No primeiro mês:
M₁ = C · (1+i₁·t)
M₁ = C · 1.02

então o capital será de 1.02·C para o segundo mês:
M₂ = (C · 1.02)·(1+i₂·t)
M₂ = (C · 1.02)·(1+0.03·1)
M₂ = C · 1.0506

E no terceiro mês temos:
M₃ = (C · 1.0506)·(1+i₃·t)
M₃ = (C · 1.0506)·(1+0.05·1)
M₃ = C · 1.10313

Ou seja, não. No final de um trimestre, a taxa será ligeiramente maior que 10%.

Sim, M = C (1+i·t) onde i = (2+3+5)%

Questão 2. A falta de informações dos micro e pequenos empresários ainda é o principal motivo para a baixa adesão ao SIMPLES – o sistema simplificado de pagamento de impostos e contribuições federais. Segundo pesquisa realizada pelo Serviço Brasileiro de Apoio às Micro e Pequenas Empresas (SEBRAE) junto a 1.312 empresas, entre 19 e 31 de março, a adesão ao SIMPLES apresentou o resultado mostrado no gráfico abaixo:

19% Vão Aderir, 22% Ainda não decidiram, 17% Não podem aderir, 3% Não pretendem aderir e 39% Já aderiram

Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem:

1. O número de empresas consutadas que ainda não decidiram aderir ao SIMPLES é inferior a 280.
2. Mais de 260 empresas consultadas não podem ou não pretendem aderir ao SIMPLES.
3. Entre as empresas consultadas, a porcentagem das que já se decidiram em relação ao SIMPLES é superior a 74%.
4. Entre as empresas consultadas que podem aderir ao SIMPLES, mais de 25% ainda não se decidiram.
5. Se o nímero de empresas que já haviam aderido ao SIMPLEs à época da consulta era igual a 900.000, então é correto estimar, com base na pesquisa, que o número total de empresas existentens no Brasil, naquele período, era superior a 2.400.000.

Resposta:
Item 1.
O total t é 1312
n = 22% de t
n = 0.22 · 1312
n = 288
Não, o número não é inferior a 280.

Item 2.
O percentual é 17% + 3% = 20%
n = 0.2 · 1312
n = 262
Sim, o número de empresas que não podem ou não pretendem aderir é maior que 260.

Item 3.
As empresas que já decidiram em relação ao simples são aquelas que já tem uma posição formada de que vão ou não aderir ao simples. Os únicos que ainda não se decidiram foram os 22%, então os outros 78% já tem uma opinião formada.
Sim, é um número superior a 74%.

Item 4.
As que podem aderir ṣo todas as empresas exceto as que ṇo podem, ou seja, 100% Р17%, 83% delas. Esses 83% ṣo formado por 22%+19%+39%+3%. Os que ṇo se decidiram ṣo a parcela de 22%, eles ṣo 22/83, 0.265, ou seja, 26,5%.
Sim, mais de 25% ainda não se decidiram.

Item 5.
Os que já aderiram na pesquisa foram 39% de 1312.
Se esses 39% estavam representando 900.000 então podemos estimar que o número total de empresas é:
39%/900.000 = 100%/x
39 · x = 100 · 900000
x = 90000000/39
x = 90000000/39
x = 2.307.692
Não, o número não é superior a 2.400.000.

Analise a tabela seguinte extraída do jornal Folha de S. Paulo, de 15/6/97, para responder às questões de 3 a 6.

Questão 3. Com base na tablea e considerando planos de financiamento a juros compostos, com parcelas mensais e iguais, sendo a primeira paga no ato da compra, julgue os itens a seguir:

1. Um consumidor que adquira um bem no valor de R$ 238,00, em 12 prestações de R$ 28,00, estará pagando um juro mensal de 7%.
2. Se um bem no valor de R$ 998,00 for adquirido em 6 prestações, a um juro mensal de 8, então o valor de cada parcela será superior a R$ 190,00.
3. O valor à vista de um bem adquirido em 16 parcelas de R$ 100,00 cada uma, a juros mensais de 6%, é inferior a R$ 1.000,00.
4. Segundo a tabel, se um bem for financiado para dois clientes distintos, em preazos diferentes mas com a mesma taxa de juros , sendo o prazo para o primeiro cliente igual à metade do prazo para o segundo, então o valor da parcela correspondendo ao primeiro será o dobro da parcela correspondente ao segundo.
5. O valor 14,50, encontrado na coluna correspondente a 35 prestações, é o calculo aproxidado do valor de .

Questão 4. Com o auxílio da tablea anterior, julgue os itens abaixo.

1. O valor 42,57% localizado na última coluna corresponde à taxa de juros anual equivalente à taxa mensal de 3%.
2. A partir da tabel, obtém-se que
   
3. Financiando-se um bem cujo valor à vista é de R$ 3.000,00, em 12 parcelas, a primeira vencendo no ato da compra, a juros compostos de 5% a.m., o valor total pago, em reais, será igual a 3.000 (1+0,05)¹².
4. Para um comprador que paga a primeira presta̤̣o no ato da compra, a op̤̣o de pagamento em 6 presta̵̤e, com juros compostos de 4% a.m., ̩ mais vantajosa Рisto ̩, implica desembolsar um montante menor Рdo que a op̤̣o de pagamento em 12 presta̵̤es, com juros compostos de 2% a.m.
5. Se o sistema de capitalização fosse simples, a tabela dada não seria adequada para se calcular, por exemplo, o valor de uma determinada prestação.