Trabalho 2 de Matemática Financeira

Segundo trabalho da disciplina Matemática Financeira, Professor Manoel Ribeiro, Universidade Federal do Ceará. Faculdade de Economia, Administração atuária e contabilidade. Departamento de Contabilidade.

Analise a tabela seguinte extraída do jornal Folha de S. Paulo, de 15/6/97.

Juro ao mês em %	Número de prestações (fora a primeira ou entrada)													Juro ao ano em %
	3	5	11	15	17	23	35
2	2.88	4.71	9.79	12.85	14.29	18.29	25	26.82
3	2.83	4.58	9.25	11.94	13.17	16.44	21.48	42.57
4	2.78	4.45	8.76	11.12	12.17	14.86	18.66	60.1
5	2.72	4.33	8.31	10.38	11.27	13.49	16.37	79.58
6	2.67	4.21	7.89	9.71	10.48	12.3	14.5	101.22
7	2.62	4.1	7.5	9.11	9.76	11.27	12.95	125.22
8	2.58	3.99	7.14	8.56	9.12	10.37	11.65	151.82
9	2.53	3.89	6.81	8.06	8.54	9.58	10.56	181.26
10	2.49	3.79	6.5	7.61	8.02	8.88	9.64	213.84
Como usar a tabela
1) Subtraia do preço à vista o valor da entrada ou da primeira prestação.							3) Localize o resultado do passo 2 na coluna do número de prestações, fora a entrada.
2) Divida o valor efetivamente financiado (passo 1) pelo valor de cada prestação.							4) siga na horizontal até a primeira coluna da esquerda que indica o juro mensal aproximado do financiamento.

Questão 1. Uma empresa gráfica necessitando atualizar-se tecnologicamente, tem as seguintes alternativas para obter uma máquina copiadora:

• Alternativa I:
  Compra-la à vista, pelo valor de R$ 8.105,00, considerando que, se a vida econômica útil da máquina é de 5 anos, venderá a copiadora, após 5 anos de uso, por R$ 1.000,00. Nesse caso, a empresa é responsável pelas despesas de manutenção, que são de R$ 500,00 por ano, nos 4 primeiros anos ,e de R$ 1.500,00 por ano, no quinto ano, que devem ser pagas ao final de cada ano.
• Alternativa II:
  aluga-la pelo valor anual de R$ 2.300,00, a ser pago ao final de cada ano, com as despesas de manutenção correndo por conta do vendedor.

Considerando que a tabela anterior pode ser utilizada para juro ao ano com prestações anuais e que a taxa de juros do mercado seja igual a 10% a.a., julgue os itens que se seguem.

1. Para a alternativa I, o valor atual de todos os desembolsos líquido, excetuando o pagamento à vista, é igual a R$ 1.895,00.
2. Para a alternativa I, o valor atual de todos os desembolsos líquidos é inferior a R$ 10.250,00.
3. O fluxo de desembolsos uniforme de cinco parcelas anuais iguais equivalente à alternativa I tem parcelas de valor inferior a R$ 2.500,00 cada uma.
4. A alternativa II é a que exigira da empresa o menor desembolso total.

Resposta:
1) i = 0.1 (ao ano)


Logo o item 1 não é correto pois VDL é superior a R$ 1.895,00.

2) VDL = VDL (calculado anteriormente) + pagamento (a vista)
VDL = 1895,4 + 8105,0 = 10000,4
Portanto o item 2 está correto pois é inferior R$ 10.250,00.

3) 10000,4 = P * a_5|10
10000,4 = P * 3,7908
P = 2638,07
Logo o item 3 está errado pois as parcelas são superiores a R$ 2500,00.

4) VDL’ = P * a_5|100
VDL’ = 2300 * 3,7908
VDL’ = 8718,84
Logo o item 4 está correto pois VDL’ não excede VDL.

Questão 2. Para um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago em 5 parcelas anuais e postecipadas, com juros compostos de 12% a.a., julgue os itens abaixo.

a) Se for adotado o sistema americano de amortização, então o valor total do pagamento, incluindo juros e o principal, será maior que R$ 170.000,00.
b) Se o tomador do empréstimo pretende formar um fundo por meio de 5 depósitos anuais, ao final de cada ano, em uma instituição financeira que paga juros compostos de 10% a.a., de tal forma que, no fim do financiamento, ele possua R$ 100.000,00 para quitar o principal pelo sistema americano, então, considerando (1,1)5 = 1,6105, ele deverá fazer um depósito anual maior que R$ 17.000,00.
c) Se for usado o sistema francês (Tabela Price), então, considerando (1,12)-5 = 0,5674, a prestação anual será menor que R$ 28.000,00.
d) Pela Tabela Price, a primeira amortização terá um valor menor que R$ 16.000,00.
e) Pela Tabela Price, o total de juros pagos ao término da amortização será igual a R$ 60.000,00.

Resposta:

a) M = C * (1+n)ⁿ
M = 1*10⁵*(1,12)5
M = 176234,16
Correto, M maior que R$ 170.000,00.

b) 100000 = P * S_5¬10
100000 = P * 6,1051
P = 16.379,75
Incorreto, P menor que R$ 17.000,00.

c) P = 100000/a_5¬12
P = 100000/3,604776
P = 27740,97
Correto, P menor que R$ 28.000,00.

d) J₁ = 100.000*0,12
J₁ = 12.000
A₁ = 27.740,97 – 12.000
A₁ = 15.740,97
Correto, amortização menor que R$ 16.000,00.

e) J = J₁ + J₂ + J₃ + J₄ + J₅
J = 12.000,00 + 10.111,08 + 7.995,50 + 5.626,04 + 2.972,25
J = 38.704,87
Correto, juros menores que R$ 60.000,00.

Questão 3 (AFTN – ESAF/1996). Você possui uma duplicata cujo valor de face é de R$ 150,00. Esta duplicata vence em três meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata, a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua canto este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso desconte a duplicata no banco, você receberá líquidos, hoje, R$ 105,00. A taxa de desconto que mais de aproxima da taxa praticada por este banco é de:

• a) 5.0 %
• b) 5,2 %
• c) 4,6 %
• d) 4,8 %
• e) 5.4 %

Resposta:
A = N – D_b (valor atual)
105 = 150 – D_b
D_b = 45

D_b = N(i*n + h) (desconto bancário)
N*(i*n + h)= 45
150 * (i*3+0,15) = 45
(i*3+0,15) = 0.3
i*3 = 0.15
i = 0.05

Alternativa a.

Quesṭo 4. (ESAF/AFRF Р2002.2)Considerando a s̩rie abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o n̼mero que mais se aproxima do valor anual total destes pagamentos no inicio do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% a.a., juros compostos.

Ano	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Valor	400	400	400	400	200	200	200	200	200	1200

Resposta: Para antecipar a primeira parcela para o inicio do primeiro ano vamos pagar uma quantia que decorrida de um ano a juros compostos de 10% equivalerá a R$ 400. Para antecipar a segunda parcela para o inicio do primeiro ano, vamos pagar uma quantia que decorrida dois anos a juros compostos de 20% equivalerá a R$ 400, e seguindo esse raciocínio faremos issocom todas as parcelas.
Como M = C * (1+i)ⁿ
C = M / (1+i)ⁿ

Então o total a ser pago é:

Que é igual a R$ 2.248,43
Alternativa C.

Questão 5. (ESAF/AFRF – 2005) Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 à vista ou financiado pelo sistema de juros compostos, à taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar este apartamento e propõe a Ana pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra: a primeira parcela, com vencimento em 6 meses, e a segunda, com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:

• a) R$ 220.237,00
• b) R$ 230.237,00
• c) R$ 242.720,00
• d) R$ 275.412,00
• e) R$ 298.654,00

Resposta:
400000 = P/(1+0,05)¹ + P/(1+0,05)³
P = 220.237

Alternativa a.

Questão 6. (ESAF/AFRF – 2005 adaptada) Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadorias no valor de R$ 100.000,00, pagando 30% à vista. No contrato de financiamento realizado no regime de juros compostos, ficou estabelecido que, para qualquer pagamento que for efetuado até seis meses, a taxa de juros compostos será de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que for efetuado após seis meses, a taxa de juros compostos será de 4% a.m.. A empresa resolveu pagar a dívida em duas parcelas. Uma parcela de R$ 30.000,00, no final do quinto mês e a segunda parcela dois meses após o pagamento da primeira. Desse modo, o valor da segunda parcela, sem considerar os centavos, deverá ser igual a:

• a) R$ 62.065,00
• b) R$ 59.065,00
• c) R$ 61.410,00
• d) R$ 60.120,00
• e) R$ 58.061,00

Resposta: Ao adquirir a mercadoria, a empresa também adquiriu uma dívida de R$ 100.000,00 que foi abatida para R$ 70.000,00. Pagando R$ 30.000,00 no final do quinto mês, ou seja, decorrido 6 meses ele terá uma dívida de:

A dívida restante é de R$ 53.583,66. Ao fim do quinto mês, o regime será de juros de 4% a.m. compostos. Como o segundo pagamento será dois meses após o primeiro que foi no fim do quinto mês, teremos dois meses de juros de 4%.

Ou seja, R$ 57.956,09. Não bate com nenhuma das respostas.

Questão 7. Obtenha o valor mais próximo da taxa interna de retorno do fluxo de caixa abaixo:

Ano	0	1 a 10
Fluxo (em R$1.000,00)	-20.000	3.255

• a) 5% a.a.
• b) 7% a.a.
• c) 7.5% a.a.
• d) 9% a.a.
• e) 10% a.a.

Resposta: Podemos descrever o problema como:

i = 5%
Alternativa A.