Um resumo de revisão sobre métodos numéricos para zeros reais de funções reais. Como é um resumo não há nenhuma dedução desses métodos.
Isolamento: para um f(x) contÃnuo no intervalo [a,b] tal que f(a)·f(b) < 0 e que ε ∈ [a,b], onde ε é tal que f(ε) = 0.
Métodos de zeros reais de funções reais: o objetivo é encontrar um valor x o mais próximo possÃvel de ε.
- Escolhemos um intervalo [a,b] tal que ε∈[a,b] e f(a)·f(b) < 0.
- No passo k encontramos uma aproximação xk (como obter essa aproximação varia de acordo com o método e é feito usando o valor da iteração anterior).
- Fazemos um teste de parada. Se |xk+1-xk | < Ea ou f(xk) < Eb, paramos. Os valores de Ea e Eb são dados pelo problema.
Método da bisseção:
- Iteramos fazendo
- Na próxima iteração escolhemos um novo intervalo
- Se f(x)·f(b) < 0, então escolhemos o mesmo b e fazemos a ↠x.
- Se f(a)·f(x) < 0, então escolhemos o mesmo a e fazemos b ↠x.
Método do ponto falso:
- No passo k achamos uma aproximação
- Na próxima passo escolhemos novos valores para a ou b da mesmo forma que fizemos no método da bisseção.
Método do ponto fixo:
- Encontramos uma função de iteração φ(x) tal que φ(x) = x + A(x)·f(x) com a condição que em ε, ponto fixo de φ(x), se tenha A(ε) ≠0.
- xk+1 = φ(xk).
Método de Newton-Raphson:
- Para que o método convirja
- φ(x) e φ'(x) devem ser contÃnuas no intervalo [a,b] escolhido.
- |φ'(x)| ≤ M < 1, ∀x ∈[a,b].
obs: Como newton-raphson é necessário calcular derivadas analiticamente, há uma boa tabela de derivadas na Wikipédia aqui.
Método da Secante:
- Aplicamos o método de newton-raphson mas usando uma aproximação para a derivada
