fontes: cct-set-2009.zip
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Algumas questões do capÃtulo 9 do livro FÃsica 1, R. Resnick e D. Halliday, quarta edição.
Questão 2. Seja d a distância entre um corpo de massa m1 e outro corpo de massa m2.
Considere um sistema de coordenadas cujo centro coincida com o centro de massa dos dois corpos. Obtenha uma expressão para o cálculo da distância d1 entre o centro deste sistema e o centro do corpo de massa m1.
Resposta:
Temos que:
- d2 – d1 = d
Como sabemos que m1+m2 é não nulo então
d1·m1 + d2·m2 = 0
d1·m1 = – d2·m2
Como d2 = d + d1substituÃmos d2
d1·m1 = – (d + d1)·m2
d1·m1 = – d·m2 – d1·m2
d1·m1 + d1·m2 = – d·m2
d1· (m1 + m2) = – d·m2
d1 = – d·m2 / (m1 + m2)
e como estamos interessados na distância, então podemos desprezar o sinal de menos:d1 = d·m2 / (m1 + m2)
Questão 10. Um bloco possui massa m1 e outro bloco possui massa m2 = 5·m1. Estes blocos são presos às extremidades de uma mola e colocados sobre um plano horizontal sem atrito. O bloco de massa m1 se aproxima do centro de massa com velocidade 6,5m/s. O centro de massa permanece em repouso uma vez que não existe nenhuma força externa aplicada. Calcule a velocidade do bloco de massa m2 em relação ao centro de massa.
Resposta: Seja o centro do massa do sistema a origem do sistema de referência.
Seja d1 a distância do centro de massa até o bloco 1 e seja d2 a distância do centro de massa até o bloco 2. Então temos:
d1·m1 = d2·m2
Como m2 = 5·m1
(i) d1·m1 = d2·5·m1Imaginamos que passado um tempo Δt os blocos se moveram e agora estão na posição d1‘ e d2‘.
Nesse momento temos analogamente:
(ii) d1‘·m1 = d2‘·5·m1Subtraindo (i) de (ii):
d1‘·m1 – d1·m1 = d2‘·5·m1 – d2·5·m1
Colocando as massas e constantes em evidencia:
m1·(d1‘ – d1) = 5·m1·(d2‘ – d2)Dividindo ambos os lados da equação por Δt temos:
m1·(d1‘ – d1) /Δt = 5·m1·(d2‘ – d2) / ΔtA velocidade v1 do bloco 1 é dada por (d1‘-d1)/Δt e a
velocidade v2 do bloco 2 é dada por (d2‘-d2)/Δt, então
m1·v1 = 5·m1·v2
v1 = 5·v2
v2 = v1 / 5
Como v1 é 6,5 m/s então v2 é 1,3 m/s.
Questão: Uma carreta sobe uma estrada cuja inclinação em relação à horizontal é de 30°, a uma velocidade de 40km/h. A força resistiva é igual a 0,75 do peso da carreta. Que velocidade teria a mesma carreta se descesse a estrada com a mesma potência?
Generalizando, vou chamar o ângulo de Θ e o coeficiente da orça resistiva de ψ.
Figura 1 – A subida
Essa força resistiva não é exatamente o atrito, porque se fosse o atrito terÃamos de calcular as componentes do peso para descobrir a normal. O trabalho exercido por essa força resistiva é igual a força ψ·m·g vezes a distância d.
Na subida:
Ea=Eb
onde
A carreta ira de um certo ponto A para um certo ponto B com uma mesma velocidade, a inércia pode cuidar disso. Mas a carreta precisa de alguma energia para converter em energia potencial gravitacional e na energia gasta pelo atrito. Essa energia vamos chamar de Em, a energia do motor. A carreta já parte com essa energia guardada para ser transformada em outras formas de energia. Podemos ver isso como o combustÃvel do veÃculo. Note que nenhuma energia aparece ou se perde.
Igualando as duas equações temos:
cortando a energia cinética dos dois lados e como h = d·senΘ:
colocando d em evidência:
A potência do motor na subida é dada pelo trabalho desenvolvido pelo motor dividido pelo tempo levado para subir do ponto A até o ponto B.
Como eu não tenho esse tempo eu posso dizer que o tempo é igual à distância dividida pela velocidade.
Substituindo Em:
Na descida:
Figura 2 – A descida
Usando o mesmo raciocÃnio e notação da subida temos:
Ea=Eb
onde
igualando as duas equações:
Como h = d·senΘ:
A potência do motor é dada pelo trabalho sobre o tempo:
Novamente não conhecemos o tempo mas sabemos que ele é a distância sobre a velocidade, que vou chamar de v linha para diferenciar da velocidade da carreta na subida:
Substituindo Em:
Como queremos que a potência na subida seja igual a potência na descida, igualamos as equações das potências:
Note que nesse problema, a velocidade na descida só depende da velocidade na subida, o coeficiente da força resistiva e do ângulo Θ.
Calculando para v = 40km/h, ψ = 0,75, Θ = 30º e senΘ = 0,5.
Questão 11 do capÃtulo 2 do livro FÃsica 1, R. Resnick e D. Halliday.
Dois vetores de módulos a e b formam entre si um ângulo ϴ (teta). Determine o módulo s do vetor resultante da soma destes vetores.
Solução:
Podemos desenhar a e b assim, para algum ângulo ϴ qualquer:
A resultante r será algo dessa forma:
Se decompormos b em suas componentes bx e by teremos essa figura:
Temos aà um triângulo retângulo, onde r é a hipotenusa, by é um cateto e a+bx é o outro cateto. Aplicando pitágoras:
r² = by² + (a+bx)²
Mas sabemos que bx= b·cosϴ e que by= b·senϴ. De forma que podemos escrever e desenvolver
r² = (b·senϴ)² + (a+b·cosϴ)²
r² = b²·sen²ϴ + a²+2·a·b·cosϴ+b²·cos²ϴ
r² = b²·sen²ϴ + a²+2·a·b·cosϴ+b²·cos²ϴ
Colocando b² em evidência.
r² = a² + b²(sen²ϴ+cos²ϴ) + 2·a·b·cosϴ
Da trigonometria sabemos que 1 = sen²ϴ+cos²ϴ.
r² = a² + b² + 2·a·b·cosϴ
